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BEDIN V.I.P.

ABILIO BEDIN NETO

Abilio BEDIN Neto 

Quebra-cabeça 64

25/08/2019 06:00

Sabemos que 27 é divisível por 3, mas nem toda figura com 27 quadrados pode ser recoberta com dominós 3 x 1.

Cubra a primeira figura abaixo (um retângulo 5 x 7 do qual retiramos dois quadrados) com dominós  3 x 1. Isso não é difícil. Em seguida, mostre que não é possível cobrir a segunda figura (um retângulo 5 x 6 do qual retiramos três quadrados) com dominós 3 x 1. O último desenho representa um dominó 3 x1 que pode ser usado em pé (como na figura) ou deitado para recobrir os retângulos amputados de alguns quadrados.

63p
Mande sua solução para ciencia@impa.br. Não esqueça de incluir seu nome, a cidade e a escola, se for o caso. Publicaremos a solução no domingo da próxima semana.

Solução do quebra-cabeça 63

Parabéns a Lis Gomide, de São Paulo, Abilio BEDIN Neto, professor de Matemática no colégio Estadual Pr Dr Héber Soares Vargas de Londrina (PR) e a Bruno Barreto do Valle do Rio de Janeiro.

Lis Gomide e Bruno do Valle sugeriram a segunda estratégia, muito mais esperta que a primeira, que não me tinha ocorrido.

Há poucas coisas mais gratificantes em matemática do que descobir soluções mais elegantes do que as suas. Muitos professores que preparam seus alunos para a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) relatam que seus alunos frequentemente resolvem os problemas das apostilas da OBMEP antes deles e de maneira mais inteligente.

Vou apresentar duas estratégias distintas. Na segunda, as amigas de Joana podem retornar ao hotel para buscar mais água.

Primeira estratégia. Vamos chamar de A a primeira amiga de Joana e de B a segunda. Na primeira parte da viagem as três meninas vão consumir apenas a água transportada por A. Quão longe poderão ir?

Vamos indicar por D o número de dias andados. Para D dias, as três amigas vão consumir 3D dias de água. Como é necessário que A volte ao hotel, ela precisará de mais D dias de água. Portanto, o consumo total das três, incluindo a viagem de retorno de A ao hotel, será de 3D + D = 4D dias de água. Como A transporta água para 8 dias, 4D=8 de onde se conclui que D=2. As três amigas vão andar dois dias. Ao final desses dois dias, terão consumido 6 dias de água. Nesse instante, A volta para o hotel consumindo mais dois dias de água.

A partir do terceiro dia, Joana e B consumem apenas a água transportada por B. Após andar D dias, elas terão consumido 2D dias de água. Para retornar ao hotal, B precisará de D+2 dias de água. D para ao voltar ao ponto onde se separaram de A e mais 2 para ir desse ponto ao hotel. Assim, 2D + D + 2 =8. Dessa equação deduzimos que D=2. Joana e B poderão andar mais dois dias. Ao final desses dois dias, elas terão consumido 4 dias de água. Nesse instante, B volta ao hotel consumindo os 4 dias de água restantes.

A partir do quinto dia, Joana prossegue sozinha. Seja D o número de dias andados. Até chegar ao hotel Joana vai consumir 2D + 4 dias de água. (D para ir, D para voltar de onde estava quando ficou sozinha e mais 4 até chegar ao hotel). Assim, 2D + 4 = 8. Logo D=2, de modo que no total, com duas amigas, Joana poderá chegar a uma distância de 6 dias do hotel.


O mesmo raciocínio permite concluir que com 6 amigas Joana poderá chegar a uma distância de 7 dias do hotel. Ao final de cada dia, uma das amigas voltará ao hotel. No primero, as sete meninas consumirão 7 dias de água, sobrando um para que a primeira amiga possa voltar. No segundo dia, as seis meninas consumirão 6 dias de água, sobrando dois para que a segunda amiga possa voltar ao hotel. Assim por diante, até
o sétimo dia, quando Joana andará sozinha por um dia, chegando às ruínas, levando 7 dias para voltar, consumindo no total toda a água que transportava. No total, as amigas terão consumido 7 x 8 = 56 dias de água.

Segunda estratégia. um algoritmo muito mais sagaz permite a Joana chegar às ruínas de Uruk com o auxílio de apenas duas amigas e um consumo total de água muito menor.

O início coincide com a estratégia anterior. As três amigas caminham por dois dias consumindo exclusivamente a água transportada por A. Ao final do segundo dia, A retorna ao hotel consumindo os dois dias de água restante, enquanto Joana e B prosseguem a viagem em direção a Uruk.

Joana e B caminham mais dois dias consumindo exclusivamente a água transportada por B. Ao final do quarto dia, B retorna ao hotel e Joana prossegue seu passeio em direção a Uruk.

Ilustramos o consumo de água na figura abaixo. Em azul, os dias que Joana bebe a água transportada por A, em rosa os associados a B e em marrom os dias em que ela consome a água que ela mesmo carrega.

Joana caminha mais três dias e chega a Uruk no final do sétimo dia, com água para mais 5 dias. No início do oitavo dia, inicia a viagem de volta e consegue andar por 5 dias. Sua reserva acaba no final do décimo-segundo dia.

Em paralelo, ao início do décimo-primeiro dia, A sai do hotel em direção a Uruk, levando água para 6 dias. Ao final do décimo-segundo dia, encontra Joana. As duas voltam ao hotel, caminhando por dois dias com a reserva transportada por A.

Essa estratégia permitiu a Joana chegar a Uruk com o auxílio de apenas duas amigas e consumindo no total 30 dias de água!

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